Mike Kuron：3个标准评估CFD收敛问题

Mike Kuron，机械工程硕士，CAE公司项目经 理。在空气动力学、核工业、国防、电厂发电及电子工业领域长期从事计算流体动力学CFD和有限元分析FEA的 模拟研究。目前在康涅狄格大学（University of Connecticut）攻读博士学位，研究领域是计算湍流燃烧。

常见软件求解流体流动问题是使用高度非线性的方程组来求解的，只有加入限制条件才能执行数值求解控制方程—NS（Navier-Stokes）方程。因此，计算流体动力学法（CFD）是通过迭代计算解决的。这就会面临一个问题，如何知道求解的过程是否是收敛的呢？

因为收敛的点是人为定义的，因此用户必须有一个很明确的理解—什么时候能达到求解的结果。一般来说评价一个稳态CFD模拟的收敛与否，有以下三个标准可以判断：

1. 残差值

2. 求解过程的不稳定程度

3. 剩余值的大小

1. 根据残差值判断是否收敛

残差是一个迭代求解的收敛中最基本的判据，因为它能直接显示系统方程计算的误差。在一个CFD模拟中，残差可以衡量每个控制体中收敛变量的波动情况。因此在每步求解过程后，模型中的每个网格都有各自的残差值。

在一个迭代的数值求解中，残差几乎不可能为零。然而，残差值越小，数值求解越精确。每个CFD代码都有自己的求解残差值。当判断收敛与否时，选择一个合适的标准后再来检查代码。

对于CFD，均方根（Root Mean Square，[RMS]）的残差是1E-4时，被认为是是松散的收敛，1E-5是为较好的收敛，1E-6是为高度收敛。然而，对于复杂问题不可能会达到1E-6或者1E-5的收敛程度。

比方说，观察印制电路板（printed circuit board ，PCB）上的不同发热元件的自然对流冷却过程。图1是残差显示器显示的是一个单调收敛的过程说明这个问题可以解决并且收敛性程度较高。

图1 案例残差显示窗口

当残差减少时，求解的结果会如何变化呢？图2 是不同残差值下的线路板上组件的温度场。

图2 不同残差程度时，散热片温度等值线图(1)1E-4(2)5E-5(3)1E-5(4)1E-6

当残差是1E-4时，我们可以清楚的看到PCB的性能，但是热元件峰值温度8℃远远低于预测值。当残差值减少到1E-5时，温度分布开始变得收敛，温度峰值预计在1℃。当计算进一步收敛，在残差为1E-5和1E-6时，温度分布的偏差几乎可以忽略不计了。

2. 用计算的震荡性来判断CFD模拟的收敛性

因为CFD的计算是解决守恒方程（质量守恒方程，动量守恒方程和能量守恒方程等），所以我们必须确保最后这些方程都是守恒的。

因为是数值表示一个物理系统，CFD求解的震荡性是不可能为零的。然而，在考虑求解收敛之前，震荡的是很小的。以经验看，求解初始的震荡幅度小于1%，那么这是一个良好的开端。需要注意的是，一些敏感性问题的求解过程是需要严格收敛的。

我们从图3可以看出，在初始阶段过后，求解过程的震荡逐步减少。对于大部分，由于较小的残差引起了局部小的震荡。

然而，对于有不同尺度的案例，及时残差很小，也可能有很大的震荡。一个常见的例子就是在共轭传热过程中，这个就像之前提及的PCB，其中传导的时间尺度比流动的尺度大。

3. 剩余值的收敛判据

在一个稳态流动分析过程中，求解域的迭代次数不应该为了一个看似收敛的过程而改变迭代次数。显示积分值，如力、曳力或者平均温度可以帮助用户判断他的分析是否到达那个点。在我们的线路板的算例中，两个有用的监视点应该是热峰值的最大温度和一个热元件的最大温度。

在图4中，我们可以看到监视点值的变化与迭代次数和RMS残差值的关系。在50步迭代后，RMS残差值减少到1E-4。元件温度的监测点在最终值一定的百分比内。

图4 求解监视点：元件最大的温度（红色）和散热片的最大温度（黄色）

然而，散热片的温度远远不是最终温度，所以在这里停止分析是会产生一定的误差。随着残差的进一步减少，每两步间的监测点值的变化逐渐减小。一旦监测值呈“水平”，我们就可以放心认为计算已经收敛了。

当然，还有很多其他标准可以用来判断CFD模拟结果值的方法。因为求解的数值精确度并不能很好代表一个真实情况。如果存在一个不正确的边界条件，那么收敛的结果就不可能正确。任何模型都要完整的检查一遍，从几何体和网格到边界条件和求解器设置。这是为了确保能正确的求解问题。

译自：http://www.engineering.com/DesignSoftware/DesignSoftwareArticles/ArticleID/9296/3-Criteria-for-Assessing-CFD-Convergence.aspx

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